Les jetons

On dispose 16 jetons sur un quadrillage de 16*16 de façon à ce que sur chaque ligne et chaque colonne il n’y ait qu’un seul jeton.

Exemple :

Combien existe-t-il de positions différentes des 16 jetons ?

Faites vos propositions par commentaires.

Bon jeu 🙂

Jennifer de FemmevsHomme

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40 commentaires sur “Les jetons

  1. Jennifer Auteur d'articleRépondre

    Bonjour,
    pour placer un jeton dans la première colonne, on a 16 possibilités ; 15 dans la deuxième ; 14 dans la troisième, etc… jusqu’à 1 possibilité pour la dernière colonne. ce qui donne un total de 16*15*14*13*….*2*1 = 16! (factorielle de 16) soit 20 922 789 888 000 possibilités.
    Bravo à Mounette90, Heydy2607, Nirvana56, Wann, Skoliad, Azertie, Chichoune et Norka.
    A tout de suite sur l’autre page.

  2. ptifour Répondre

    la réponse n’ayant pas encore été donné je tente une nouvelle réponse
    pour poser le 1er jeton on prend la 1ere ligne et la 1ere colonne ,ce qui fait 31 cases possible(16+15) ,pour le 2eme il y a 15+14=29 possibilités etc
    donc (16+15)*(15+14)*(14+13)*(13+12)*(12+11)*(11+10)*(10+9)*(9+8)*(8+7)*(7+6)*(6+5)*(5+4)*(4+3)*(3+2)*(2+1)*1
    31*29*27*25*23*21*19*17*15*13*11*9*7*5*3*1= 191 898 783 962 510 625

  3. thedooi Répondre

    pour trouver 1496je me suis dit :
    pour placer le premier jeton, j’ai 16*16 endroit possible
    pour le second 15*15
    pour le troisième 14*14
    …..
    en additionnant tous les résultats, j’obtiens 1496.

    je retente ma chance en gardant l’idée première :
    pour placer le premier jeton, j’ai ((16*16)-(15*15)) endroits où le placer
    pour le second ((15*15)-(14*14))

    et je propose un résultat de :
    256 possibilités

    • Jennifer Auteur d'articleRépondre

      tu en es très loin 🙂 et si tu ne m’expliques pas ce que tu as fait pour trouver ça, je ne pourrai pas t’aider

  4. ptifour Répondre

    bonjour ,au départ je savais pas trop comment prendre le problème,donc j’ai commencé à calculer pour un quadrillage 4×4 ,puis 5×5
    après je crois avoir compris le système ,je vais essayer d’expliquer en restant clair 😆
    je prends n comme le nombre de jetons (ou le nombre de cases par côté)
    comme il n’y a qu’un jeton par ligne et par colonne ,chaque fois que je pose un jeton sur une case ,pour le deuxième jeton ,il reste un carré de n-1 de côté ,ainsi de suite jusqu’a ce qu’il ne reste qu’une case
    comme à chaque fois on multiplie le côté par lui même pour trouver le nombre d’emplacement possible ,et qu’on multiplie toute les possibilité de chaque jeton entre eux pour trouver le total ,on en déduit la formule :
    n²*(n-1)²*(n-2)² … jusqu’a ce que n-x=1
    si on prends la chose dans l’autre sens ça nous donne 1²*2²*3²*4²…jusqu’a n²
    dans ce cas là d’un quadrillage de 16×16 avec 16 jetons ,ça donne :
    1²*2²*3²*4²*5²*6²*7²*8²*9²*10²*11²*12²*13²*14²*15²*16²=437 763 136 697 395 052 544 000 000

    • Jennifer Auteur d'articleRépondre

      Ptifour, je ne veux pas dire de bêtises mais je pense que ça serait le bon raisonnement si les jetons étaient tous différents, numérotés ou de couleur différente. là, ils sont identiques donc on se retrouve plus d’une fois avec le même placement.

  5. Jennifer Auteur d'articleRépondre

    A tous : merci d’expliquer votre raisonnement et de donner une réponse sous forme d’entier naturel.

    • azertie Répondre

      Je voulais d’abord savoir si c’était la bonne réponse parce que l’explication est longue.

      Démonstration par récurrence: le jeton en haut à gauche peut occuper 16 colonnes différentes sur la ligne du haut. A chaque fois qu’on le décale, il suffit d’inverser sa colonne avec celle sur jeton correspondant en dessous pour conserver la règle de placement.

      On pourrait faire de même en le faisant descendre ligne par ligne mais dans ce cas on obtiendra des cas de doublons dès qu’on fera la même chose avec les jetons du dessous. Or ici les jetons sont totalement anonymes et interchangeables. Dans ce contexte, on peut dire que le nombre de possibilités est égal à 16 (colonnes) * le nombre de combinaisons possibles pour une grille de 15×15 avec 15 jetons.

      Or pour 15 jetons le même raisonnement peut s’appliquer: nombre de possibilités = 15 * nombre de combinaisons pour 14 jetons. Et ainsi de suite.

      On obtient donc un total de 16*15*14….*1 possibilités soit factorielle 16 = 20922789888000 combinaisons.

  6. skoliad Répondre

    Posons un jeton sur la 1ère colonne: il y a 16 possibilités.
    Pour le jeton sur la 2de colonne, il n’y a que 15 possibilités puisqu’un ligne est déjà occupée par le 1er jeton.
    Donc pour le 3ème, il y a 14 possibilités.
    etc. jusqu’au dernier qui n’aura plus le choix (15 colonnes et 15lignes déjà occupées).

    Donc on a en tout 16 x 15x 14 x 13 x 12x 11x 10 x 9x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3x 2x 1 = 20 922 789 888 000

    !
    Bon j’avoue que 20 922 milliards de possibilités ça fait beaucoup.

    Je suis donc en grande forme!! :))

  7. Jennifer Auteur d'articleRépondre

    Arggg ! faut pas quitter l’écran des yeux, en fait !
    Chichoune, je ne veux pas dire de bêtises mais je pense que ça serait le bon raisonnement (ton 2°) si les jetons étaient tous différents, numérotés ou de couleur différente. là, ils sont identiques donc on se retrouve plus d’une fois avec le même placement.
    Nirvana, tu enlèves tes mains de mon carré, tu ne t’amuses pas à le retourner dans tous les sens. tu avais raison la première fois, ce que je voulais, c’était que tu donnes le nombre en entier (et pas arrondi). c’est l’inconvénient des calculatrices scientifiques (la mienne arrondit plus encore)
    Bretonne et Norka, je vous conseille d’essayer d’abord avec un quadrillage plus petit(genre 5*5)

    • Norka Répondre

      Ok je vois que je me suis bien plantée lol

      Alors le jeton de la ligne 1 a 16 possibilités, le jeton de la ligne 2 en a plus que 15, le 3ème 14,.., et le jeton 16 a plus qu’1 possibilité donc j’additionne 16+15+14+13+12+11++10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=136

      Ensuite je fais 136*16=2176 possibilités pour les jetons

    • Jennifer Auteur d'articleRépondre

      Norka, le raisonnement est bon mais les calculs, pas du tout… 🙂

      • Norka Répondre

        Re,

        au lieu d’additionner il faut multiplier donc 16x15x14x13x12x11x10x9x8x7x6x5x4x3x2x1 = 20922789888000 possibilités

        Le nombre est super long, ma calculatrice digitale n’allai pas si loin, j’ai dû utiliser celle du pc lol

  8. Wann Répondre

    On pose le 1er jeton dans la 1ère colonne (il y a forcément un jeton dans chaque colonne)
    Puis le 2ème dans la 2ème, etc….

    1ere colonne : 16 possiblités
    2eme colonne : 15 possibilités (toutes les lignes sauf la ligne occupée par le jeton précédent)
    3eme colonne : 14 possibilités (toutes les lignes sauf les 2 lignes occupées par les jetons précédents)

    15eme colonne : 2 possilibités
    16eme colonne : 1 seule possilibité

    on a donc 16x15x14x…x2x1, c’est à dire 16! grilles possibles.
    Ma calculatrice me dit que cela fait 20 922 789 888 000 possibilités, c’est à dire plus de 20 mille milliards de possibilités

  9. chichoune Répondre

    Salut à tous !
    Comme ça, d’instinct, je dirais 16!/2 (factorielle 16)/2, mais j’ai pas réfléchi plus que ça…
    J’ai vu que mon collègue Nirvana était déjà sur le coup, il est beaucoup plus doué que moi pour ce genre de trucs…
    Je creuse et je reviens…
    Chichoune

    • chichoune Répondre

      C’est peut-être beaucoup plus en fait…
      Pour placer le 1er jeton, j’ai 16*16 cases disponibles = 256
      Pour le 2ème, je n’ai plus que 15*15 cases disponibles = 225
      Pour le 3ème, je n’ai plus que 14*14 cases disponibles = 196
      Pour le 4ème, je n’ai plus que 13*13 cases disponibles = 169

      Pour le 14ème, je n’ai plus que 3*3 cases disponibles = 9
      Pour le 15ème, je n’ai plus que 2*2 cases disponibles = 4
      Pour le 16ème, je n’ai plus que 1*1 cases disponibles = 1

      Du coup, au total, ça fait 256*225*196*169…*9*4*1 = un peu moins de 438 millions de milliards de milliards…

      Ca me parait énorme quand même…

      • chichoune Répondre

        Effectivement c’est un peu trop… comme les jetons sont indifférenciés, une combinaison est comptée plusieurs fois…
        Genre, si je prends la racine carré de ma solution précédemment proposée, je tombe sur 16! soit :
        20 922 789 888 000 possibilités… Et je voudrais bien connaitre la technique de Nirvana pour les lister !!!
        A+
        Chichoune

  10. Norka Répondre

    Bonjour,

    Sur la quadrillage il y a 16*16 cases ce qui fait en tout 256
    Chaque jeton a donc 256 positions différentes.
    Ensuite je fais 256*16 (jetons) = 4096

    Donc pour les 16 jetons il y a en tout 4096 possibilités.

    Voilà mon raisonnement est un peu simple mais je suis pas la spécialiste des maths lol

    Bonne journée

    • Jennifer Auteur d'articleRépondre

      Nirvana, je suis d’accord sur le principe mais tu arrondis beaucoup trop à mon goût…
      et j’aimerais bien que tu fasses le détail des possibilités ! :mrgreen:

      • nirvana56 Répondre

        Si on considère qu’un côté du carré n’est pas distinct d’un autre… c’est à dire qu’il suffit de tourner le carré pour avoir des nouvelles positions et qu’on élimine ces positions « doubles », ça ferait factorielle(16)/4?

        Je commence à preparer le détail de toutes les possibilités.

  11. heydy2607 Répondre

    Bonjour,

    Alors comme ça sans réfléchir, je dirai :
    le 1er jeton a 16 places possibles, le deuxième 15, le troisième 14 …
    Donc pour moi il y a :
    16*15*14*13*12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1=16! possibilités.
    Maintenant je vais réfléchir pour diminuer un peu ce nombre qui semble faramineux.
    A tout à l’heure

  12. mounette90 Répondre

    Bonjour,

    Je dirais qu’il y a 16 possibilités pour la 1ere ligne, ensuite 15 pour la 2eme ligne, ensuite 14, et ainsi de suite jusqu’à 1, ce qui donnerait 16x15x14x13x …. x2x1 possibilités soit 20922789888000 possibilités mais ça me semble un chiffre trop énorme pour que ce soit ça !

    • Bretonne56 Répondre

      Re,

      J’ignore si ma réponse est bonne mais, pour trouver 128, je suis partie du principe que chaque jeton prend 2 cases.

      J’ai donc multiplié 16 par 16 (=256) et j’ai divisé par deux (=128).

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