Histoire de poteaux

Soit deux poteaux de 5 et 7 mètres de hauteur
De chaque sommet des poteaux, est attaché un fil de fer
qui relie directement le pied de l’autre.

A quelle distance du sol les deux fils se croiseront?

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Jeu proposé par Serge de FemmevsHomme

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Règle d’attribution des points du mini-jeu :

10 points sont attribués à chaque gagnant

1 jeu sur 2 jours les week-end , jours fériés et
pendant les vacances scolaires soit 20 points

Nouveau : 5 points de bonus sur un critère choisi
par l’équipe avant la publication du mini-jeu
(explications ICI)

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19 commentaires sur “Histoire de poteaux

  1. Serge Auteur d'articleRépondre

    Bonjour toutes et tous.

    Dans tous les cas, la distance séparant les poteaux n’a pas d’importance.
    la hauteur du point de croisement est représentée par:
    le produit des hauteurs divisé par leur somme, soit:

    (5×7):(5+7) = 35/12 = 2,91666666666

    Les gagnants sont: Nirvana56 – Wann – Chichoune – Chuck – Mounette90 – Heydy2607 tous à 25 points
    Starsky et Ptifour à 20 points
    Domdu à 10 points

    Bonne journée avec Aurélia

  2. domdu-josse Répondre

    La réponse me semble évidente :
    Le point de rencontre se situe à la moyenne des « mi-hauteurs »,
    soit (2.5 + 3.5)/2 donc 3 mètres.
    cdlt
    Dom

  3. heydy2607 Répondre

    Bonjour,

    En posant x la distance entre les deux poteaux, a la distance entre le sommet d’un piquet et le point d’intersection et y la hauteur du point d’intersection par rapport au sol et en écrivant une fois Pythagore et deux fois Thalès, on obtient 2,92m environ.

    A bientôt

  4. mounette90 Répondre

    Bonjour Serge,

    Un peu difficile d’expliquer le raisonnement sans dessin, mais en fin de compte Thales nous dit qu’on arrive à
    (5-x)/x = 5/7 donc 5x = 35-7x donc 12x = 35 donc x = 35/12 = 2,9166666 m

    Ca marche aussi dans l’autre sens : (7-x)/x = 7/5 donc 7x = 35-5x et x = 35/12

  5. Chuck Répondre

    Hello,

    Si on désigne par l et L les hauteurs des 2 poteaux, alors les fils se croiseront à la hauteur h = (L*l)/(L+l).
    Soit environ h = 2,92m pour l = 5m et L = 7m.
    C’est en fait la moitié de la moyenne harmonique de l et L.

    Démonstration : si on note B la distance entre les 2 poteaux, puis b1 et b2 les distances des poteaux l et L à l’aplomb du point de croisement. On a donc B = b1 + b2.

    Si les poteaux sont droits et plantés de façon verticale, alors ils sont // et Thalès (souvenirs :-)) nous dit que :
    h/l = b2/B
    h/L = b1/B

    Alors b1 = h*B/L et b2 = h*B/l
    et donc b1 + b2 = h*B/L + h*B/l = B soit en simplifiant (B disparait et donc l’écart entre les poteaux n’intervient effectivement pas) h = (L*l)/(L+l)

  6. chichoune Répondre

    Salut à tous !

    mettons que le poteau de 7m (le poteau A) est à gauche de celui de 5m (le poteau B).
    Le cable (C1) qui part de A et qui relie le pied de B descend vers la droite.
    Le cable (C2) qui part de B et qui relie le pied de A monte vers la droite.

    Si on se place dans un repère orthonormé et que le poteau A est sur l’axe des ordonnées, supposons que le poteau B soit à l’abscisse x=1, alors :

    Le câble C1 peut être représenté par une droite qui passe par les coordonnées :
    (0,7)
    (1,0)
    (2,-7)
    (…)
    On en déduit que :
    L’ordonnée à l’origine de la droite C1 est 7.
    Le coefficient directeur de la droite C1 est de -7
    => la fonction de la droite C1 est y=-7x+7

    Le câble C2 peut être représenté par une droite qui passe par les coordonnées :
    (0,0)
    (1,5)
    (2,10)
    (…)
    On en déduit que :
    L’ordonnée à l’origine de la droite C2 est 0.
    Le coefficient directeur de la droite C2 est de 5
    => la fonction de la droite C2 est y=5x

    Le point d’intersection est placé par définition sur les 2 droites, donc il vérifie l’égalité suivante :
    5x=-7x+7
    => 12x=7
    => x=7/12

    En remplaçant x par 7/12 dans la fonction C2, on a :
    y=5(7/12) => y=35/12.

    Le point d’intersection a donc pour coordonnées (7/12 ; 35/12), soit une hauteur au sol de 35/12 = 2.92m, à une distance de 7/12 = 0.58 = 58% de la distance entre les 2 poteaux !

    A+ !

    Chichoune

  7. ptifour Répondre

    zut ,je ne suis pas chez moi,j’ai oublié de m’identifier sur le message précédent

    • Serge Auteur d'articleRépondre

      Bonjour Ptifour

      J’ai noté ta réponse anonyme.

      c’est presque cela, avec la formule tu aurais trouvé avec plus de précision

  8. Anonyme Répondre

    bonjour,
    je n’ai pas trouvé de formule mathématique,donc j’ai fait un dessin vite fait et je trouve a peu près 2m50 😳

  9. Wann Répondre

    Je ne sais pas si ma solution est la plus simple, mais ça a l’air de fonctionner :
    (Note : pour les besoins du raisonnement, je suppose que les poteaux sont verticaux, sinon, ça va pas être possible de faire les calculs … et puis ça voudrait dire que celui qui a planté les poteaux n’a pas fait son boulot correctement)

    Soit h la hauteur à laquelle les fils se coupent
    Soit P le point au sol en-dessus duquel les fils se croisent.
    Soit d1 la distance entre P et le poteau de 7m
    Soit d2 la distance entre P et le poteau de 5m

    D’après ce que me dit mon ami Thalés :
    h/5 = d1/(d1+d2)
    h/7 = d2/(d1+d2)

    => h= 5xd1/(d1+d2)
    et h= 7xd2/(d1+d2)
    donc 5xd1 = 7xd2 => d2 = (5/7)xd1

    En remplaçant dans la 1ère équation :
    h/5 = d1/(d1+(5/7)xd1) = 1/(1+5/7) = 1/((7+5)/7 = 7/12
    donc h = 5×7/12 = 35/12 = 2,91 m
    (on remarque que 35 est la multiplication des 2 hauteurs, alors que 12 est la somme des 2 hauteurs)

    Les fils se croisent à environ 2,91m.

    D’une façon générale, pour 2 poteaux de hauteurs h1 et h2, les fils se croisent à (h1xh2)/(h1+h2).
    (on remarque d’ailleurs que si les 2 poteaux ont la même hauteur (h1 = h2), les fils se coupent à (h1xh1)/(2xh1) = h1/2 , c’est à dire à la moitié de la hauteur, ce qui paraît logique)

  10. nirvana56 Répondre

    Bonjour,

    c’est un poteau (mon copain Thalès) qui m’a soufflé la réponse :

    35/12, soit presque 3 m. de haut.

    Nirvana56

    • nirvana56 Répondre

      Sinon j’ai entendu parlé d’une solution en posant le problème dans un espace vectoriel orthonormé. Une solution qui est bien plus classe qu’avec le théorème de Thalès…

  11. starsky Répondre

    Yiassou,

    Une question pratique : ils sont à quelle distance l’un de l’autre, si tant est qu’ils soient plantés sur une surface plane, et que la question ne soit pas une embrouille ! 😉

    • Serge Auteur d'articleRépondre

      Bonjour Starsky
      La question n’est pas une embrouille!! La surface est plane entre les deux poteaux et il n’y a pas besoin de connaitre la distance qui les séparent

      • starsky Répondre

        Re,

        J’ai fait trois croquis à l’échelle 1/100ème, et je trouve à chaque fois 3cms soit 3,00 mètres à l’échelle 1.

        Αυτό είναι;
        c’est ça ? 😕

        • Serge Auteur d'articleRépondre

          Re Starsky

          Oui c’est presque cela, il y a une formule qui permet de trouver la réponse;
          Etant très proche de la réalité, je prends ta réponse pour bonne

          • starsky

            Re,

            Merci Serge !

            Les matheux vont s’en donner à coeur joie !

            Pour trouver « 3 », en prenant le problème à partir de la réponse, ça peut donner :

            5+7/4=3

            « 4 » étant le nombre de segments entre le sommet des poteaux et les bases via le point de croisement comme limite, comme un « X » !

            Je m’enfonce, je coule « blurp », j’ai bu la tasse « beurk » !

            Kaliméra ☺☼☺

  12. Serge Auteur d'articleRépondre

    Bonjour toutes et tous

    J’espère que vous avez passé un bon weekend

    Bonne recherche

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